有效折射率笔记

引言

光在波导中传播时，其相位会沿传播方向周期性变化。有效折射率衡量的是在相同光频率下，这种相位变化相对于真空中光波长的快慢。数学上，有效折射率记作 $n_{\rm eff}$，定义为 [1]：

$$ n_{\rm eff} = \frac{\lambda}{2\pi}\beta = \frac{\beta}{k}, $$

其中，$\beta$ 表示波导中特定模式的传播常数。需要注意，不同波导模式具有不同的有效折射率，因此 $n_{\rm eff}$ 是模式序号的函数。

平板波导是夹在两层低折射率材料之间的二维高折射率薄层。这种非均匀结构能够在中间层内形成受限光学模式，从而构成光波导。如果上下两层采用相同材料，则称这种波导为对称平板波导。

对称平板波导中受限模式的有效折射率可以通过解析计算求得。为简单起见，下面只讨论 TE 模。设中间层的折射率为 $n_{1}$，上下两层的折射率为 $n_{s}$。对于芯层厚度为 $2a$ 的平板波导，可用参考文献 [2] 第 19 页中的方程计算有效折射率 $n_{\rm eff}$：

$$ v\sqrt{1-b} = \frac{m\pi}{2} + \tan^{-1}\sqrt{\frac{b}{1-b}}, $$

其中，$v = ka\sqrt{n_{1}^{2}-n_{s}^{2}}$，$b = (n_{\rm eff}^{2} - n_{s}^{2})/(n_{1}^{2} - n_{s}^{2})$。$m$ 是非负整数，表示模式序号。

下面给出平板波导第一个 TE 模的色散曲线。波导中间是厚度为 220 nm 的硅层，上下均为二氧化硅层。

用于解析计算对称平板波导有效折射率的 MATLAB 代码位于 Note_effective_index/effective_index_slab_wg.m。

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